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UFMS 2023 · Questão 29

Matemática · Geometria analítica

O tiro com arco é a prática de utilizar um arco e flechas para atingir um alvo; surgiu como atividade de caça e guerra nos primórdios da civilização, com indícios de sua prática ainda na pré-história. Biro é praticante de arco e flecha. Para analisar seus últimos dois disparos, construiu um alvo por meio do plano cartesiano com auxílio de um programa de computador com a equação β:x2+y2−2x−10y+21=0\beta: x^2 + y^2 - 2x - 10y + 21 = 0. As equações λ:2x+y−4\lambda: 2x + y - 4 e δ:2x+y−16\delta: 2x + y - 16 representam a trajetória dos disparos realizados, também construídos no plano com esse mesmo programa. Sobre os disparos realizados por Biro, é correto afirmar que:

  1. Aele acertou os dois disparos, pois ambas as retas são secantes à circunferência do alvo.
  2. Bele errou os dois disparos, pois ambas as retas são externas à circunferência alvo.
  3. Cele acertou o disparo representado por λ\lambda, pois a reta é secante à circunferência, e errou o disparo δ\delta, pois a reta é externa à circunferência.
  4. Dele errou o disparo representado por λ\lambda, pois a reta é tangente à circunferência do alvo, e acertou o disparo δ\delta, pois a reta é secante à circunferência.
  5. Eele acertou o disparo representado por λ\lambda, pois a reta é tangente à circunferência do alvo, e acertou o disparo δ\delta, pois a reta é secante à circunferência.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) acertou λ\lambda (secante) e errou δ\delta (externa).

A ideia: comparar a distância do centro a cada reta com o raio.

Resolução. β\beta: (x−1)2+(y−5)2=5(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 5, centro (1,5)(1, 5), raio 5\sqrt{5}.

  • λ:2x+y−4=0\lambda: 2x + y - 4 = 0: distância ∣2+5−4∣5=35<5\dfrac{|2 + 5 - 4|}{\sqrt{5}} = \dfrac{3}{\sqrt{5}} < \sqrt{5}. Secante.
  • δ:2x+y−16=0\delta: 2x + y - 16 = 0: distância ∣2+5−16∣5=95>5\dfrac{|2 + 5 - 16|}{\sqrt{5}} = \dfrac{9}{\sqrt{5}} > \sqrt{5}. Externa.

Onde a galera erra: esquecer o módulo e achar distância negativa para δ\delta.

Leve para a prova: d<rd < r secante; d=rd = r tangente; d>rd > r externa.

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