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UFMS 2024 · Questão 25

Matemática · Geometria espacial

Resolvida no Impulso

A escultura a seguir é formada por metade de uma esfera, um cone equilátero e um cubo.

Figura da questão

O ponto de apoio do cone na semiesfera é o centro da superfície plana; já o cubo tangencia o cone na metade de sua altura. Sabendo que a base do cone e a base da semiesfera têm a mesma medida de raio igual a 20 cm e considerando o valor de π=3\pi = 3 e 3≈1,7\sqrt{3} \approx 1{,}7, o valor do volume da escultura é:

  1. Amenor que 25.000 cm³.
  2. Bentre 25.000 cm³ e 30.000 cm³.
  3. Centre 30.000 cm³ e 35.000 cm³.
  4. Dentre 35.000 cm³ e 40.000 cm³.
  5. Emaior que 40.000 cm³.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: some três volumes. O cubo encosta no cone na metade da altura: o lado do cubo é essa meia altura.

Resolução. Cone equilátero de raio 20: geratriz 40, altura 203≈3420\sqrt{3} \approx 34 cm.

  • Semiesfera: 23⋅3⋅203=16 000\frac{2}{3} \cdot 3 \cdot 20^3 = 16\,000 cm³.
  • Cone: 13⋅3⋅400⋅34=13 600\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 400 \cdot 34 = 13\,600 cm³.
  • Cubo: o cubo apoia no mesmo plano do vértice do cone e o toca na metade da altura: lado 1717 cm, volume 173=491317^3 = 4913 cm³.

Total: 16 000+13 600+4913=34 51316\,000 + 13\,600 + 4913 = 34\,513 cm³.

Onde a galera erra: usar a geratriz (40) como altura do cone.

Leve para a prova: cone equilátero: geratriz = diâmetro, altura =r3= r\sqrt{3}.

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