UFMS 2024 · Questão 28

Matemática · Geometria analítica

Resolvida no Impulso

Em um plano, foram desenhadas duas circunferências $C_1$ e $C_2$ . A circunferência $C_1$ tangencia os eixos $x$ e $y$ e a circunferência $C_2$ no ponto $P$ ; já a circunferência $C_2$ tangencia o eixo $x$ .

Sabendo que o centro da circunferência $C_1$ é $(2; 2)$ , e que o tamanho da circunferência $C_2 = \dfrac{C_1}{2}$ , as coordenadas do ponto $P$ no plano cartesiano são:

A $P\left(\dfrac{6 + 4\sqrt{2}}{3}; \dfrac{3}{2}\right)$ .
B $P\left(\dfrac{6 + 4\sqrt{2}}{3}; \dfrac{4}{3}\right)$ .
C $P\left(\dfrac{2 + 2\sqrt{2}}{3}; \dfrac{3}{2}\right)$ .
D $P\left(\dfrac{2 + 2\sqrt{2}}{3}; \dfrac{4}{3}\right)$ .
E $P\left(2\sqrt{2}; \dfrac{4}{3}\right)$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) $P\left(\dfrac{6 + 4\sqrt{2}}{3}; \dfrac{4}{3}\right)$ .

A ideia: o ponto de tangência fica no segmento que liga os centros, dividindo-o na razão dos raios.

Resolução. $C_1$ : centro $(2, 2)$ , raio 2 (toca os dois eixos). $C_2$ : raio 1 e toca o eixo $x$ , então o centro é $(h, 1)$ .

Tangentes por fora: distância entre centros $= 2 + 1 = 3$ :

$(h - 2)^2 + 1 = 9$ , logo $h = 2 + 2\sqrt{2}$ .

$P$ fica a 2 unidades de $(2, 2)$ rumo a $(h, 1)$ , ou seja, a $\dfrac{2}{3}$ do caminho:

$P = \left(2 + \dfrac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2},\ 2 - \dfrac{2}{3} \cdot 1\right) = \left(\dfrac{6 + 4\sqrt{2}}{3}, \dfrac{4}{3}\right)$ .

Onde a galera erra: pôr $P$ no meio dos centros (metade do caminho), que dá a ordenada $\dfrac{3}{2}$ das alternativas A e C.

Leve para a prova: circunferências tangentes por fora: distância entre centros = soma dos raios, e o ponto de contato divide esse segmento na razão dos raios.

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