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UFMS 2026 · Questão 17

Matemática · Matrizes e determinantes

Dada a matriz

A=[0−11−1]A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

a matriz A2026A^{2026} é igual a:

  1. A[0−11−1]\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
  2. B[01−11]\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}
  3. C[1001]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
  4. D[−11−10]\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}
  5. E[−100−1]\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
Ver a resposta e a resolução (com vídeo)

Resposta: A

Resposta: (A) A2026=AA^{2026} = A.

A ideia: calcular as primeiras potências e procurar o ciclo.

Resolução. A2=(−11−10)A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} e A3=A2⋅A=(1001)=IA^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.

Ciclo de 3. 2026=3⋅675+12026 = 3 \cdot 675 + 1, então A2026=(A3)675⋅A=AA^{2026} = (A^3)^{675} \cdot A = A.

Onde a galera erra: parar no A2A^2 e achar que Apar=A2A^{\text{par}} = A^2.

Leve para a prova: potência alta de matriz: procure quando ela volta à identidade e use o resto da divisão.

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