UFMS 2026 · Questão 20

Matemática · Geometria plana

Resolvida no Impulso

Quatro circunferências concêntricas $C_1, C_2, C_3, C_4$ têm raios:

$C_1: r, \quad C_2: r + d, \quad C_3: r + 2d, \quad C_4: r + 3d$

Sejam $A_1, A_2, A_3$ a área das coroas circulares formadas entre circunferências consecutivas, isto é:

$A_1$ : área da coroa circular entre $C_1$ e $C_2$ .
$A_2$ : área da coroa circular entre $C_2$ e $C_3$ .
$A_3$ : área da coroa circular entre $C_3$ e $C_4$ .

A figura a seguir exemplifica a situação descrita:

Figura 1: Representação geométrica das circunferências concêntricas $C_1, C_2, C_3, C_4$ e as áreas $A_1, A_2, A_3$ das coroas circulares. Fora de escala.

Se $A_3 = A_1 + A_2$ , então o valor de $d$ (em função de $r$ ) é igual a:

A $d = 2r$ .
B $d = 3r$ .
C $d = 4r$ .
D $d = 5r$ .
E $d = 6r$ .

Ver a resposta e a resolução (com vídeo)

Resposta: A

Resposta: (A) $d = 2r$ .

A ideia: área de coroa = diferença de círculos, $\pi(R^2 - \rho^2)$ . Escreva as três e use a condição dada.

Resolução.

$A_1 = \pi[(r + d)^2 - r^2] = \pi(2rd + d^2)$
$A_2 = \pi[(r + 2d)^2 - (r + d)^2] = \pi(2rd + 3d^2)$
$A_3 = \pi[(r + 3d)^2 - (r + 2d)^2] = \pi(2rd + 5d^2)$

$A_3 = A_1 + A_2$ : $2rd + 5d^2 = 4rd + 4d^2 \Rightarrow d^2 = 2rd \Rightarrow d = 2r$ (com $d \ne 0$ ).

Onde a galera erra: calcular $\pi(r + 3d)^2$ como área da coroa, esquecendo de tirar o círculo de dentro.

Leve para a prova: coroa circular: $\pi(R^2 - \rho^2)$ ; fatorar $(R - \rho)(R + \rho)$ costuma encurtar a conta.

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