UFMS 2026 · Questão 26

Matemática · Geometria plana

Resolvida no Impulso

Na figura a seguir, a circunferência tangencia três dos lados do retângulo ABCD nos pontos E, F e G.

Sabe-se que tal circunferência tem raio medindo 5 cm e o retângulo ABCD tem área igual a 200 cm². Se X e Y são os pontos de interseção da circunferência com a diagonal $\overline{BD}$ do retângulo, então o segmento $\overline{XY}$ tem comprimento, em centímetros, igual a:

A $\sqrt{5}/2$ .
B $\sqrt{5}$ .
C $3\sqrt{5}/2$ .
D $2\sqrt{5}$ .
E $4\sqrt{5}$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) $4\sqrt{5}$ .

A ideia: a circunferência tangencia o lado de cima e o de baixo: a altura do retângulo é o diâmetro. Depois, corda = $2\sqrt{r^2 - d^2}$ , com $d$ a distância do centro à diagonal.

Resolução. Altura: 10 cm; base: $\dfrac{200}{10} = 20$ cm.

Coordenadas: A(0, 0), B(20, 0), C(20, 10), D(0, 10). Como a circunferência toca o lado BC, o centro é (15, 5).

Diagonal BD: $x + 2y = 20$ . Distância do centro: $\dfrac{|15 + 10 - 20|}{\sqrt{1 + 4}} = \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ .

$XY = 2\sqrt{25 - 5} = 2\sqrt{20} = 4\sqrt{5}$ cm.

Onde a galera erra: parar na metade da corda ( $2\sqrt{5}$ , D).

Leve para a prova: corda = $2\sqrt{r^2 - d^2}$ , com $d$ a distância do centro à reta.

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