UFMS 2026 · Questão 27

Matemática · Álgebra e técnicas

Se $a$ e $b$ são números reais positivos e $\begin{cases} a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = 152 \\ a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = 120 \end{cases}$ , então o valor de $a + b$ é igual a:

A34.
B32.
C30.
D28.
E26.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: chamar $u = \sqrt{a}$ e $v = \sqrt{b}$ . As equações viram $u^3 + v^3$ e $uv(u + v)$ , peças do cubo da soma.

Resolução. $u^3 + v^3 = 152$ e $uv(u + v) = 120$ .

$(u + v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u + v) = 152 + 360 = 512$ , logo $u + v = 8$ e $uv = 15$ .

$a + b = u^2 + v^2 = (u + v)^2 - 2uv = 64 - 30 = 34$ .

Onde a galera erra: tentar achar $a$ e $b$ separados por tentativa. Funciona ( $a = 25$ , $b = 9$ ), mas é mais lento.

Leve para a prova: $(u + v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u + v)$ .

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